【线性代数练习题及答案】在学习线性代数的过程中，练习是巩固知识、提高解题能力的重要途径。为了帮助同学们更好地掌握这一数学分支的核心内容，以下提供一些典型的线性代数练习题，并附有详细的解答过程。
一、行列式计算
题目1：
计算下列三阶行列式的值：
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & -1 \\
3 & 0 & 2 \\
-1 & 4 & 5
\end{vmatrix}
$$
解答：
使用展开法（按第一行展开）：
$$
= 2 \cdot
\begin{vmatrix}
0 & 2 \\
4 & 5
\end{vmatrix}
- 1 \cdot
\begin{vmatrix}
3 & 2 \\
-1 & 5
\end{vmatrix}
+ (-1) \cdot
\begin{vmatrix}
3 & 0 \\
-1 & 4
\end{vmatrix}
$$
分别计算各二阶行列式：
$$
= 2(0 \cdot 5 - 2 \cdot 4) - 1(3 \cdot 5 - 2 \cdot (-1)) - 1(3 \cdot 4 - 0 \cdot (-1))
$$
$$
= 2(-8) - 1(15 + 2) - 1(12)
$$
$$
= -16 - 17 - 12 = -45
$$
答案： $-45$
二、矩阵运算
题目2：
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，$ B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $，求 $ AB $ 和 $ BA $ 的结果。
解答：
先计算 $ AB $：
$$
AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 5 + 14 & 6 + 16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}
$$
再计算 $ BA $：
$$
BA = \begin{bmatrix} 5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 & 5 \cdot 2 + 6 \cdot 4 \\ 7 \cdot 1 + 8 \cdot 3 & 7 \cdot 2 + 8 \cdot 4 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 5 + 18 & 10 + 24 \\ 7 + 24 & 14 + 32 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{bmatrix}
$$
答案：
$ AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} $，
$ BA = \begin{bmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{bmatrix} $
三、向量空间与基
题目3：
判断向量 $ \mathbf{v} = (1, 2, 3) $ 是否可以由向量 $ \mathbf{u}_1 = (1, 0, 1) $ 和 $ \mathbf{u}_2 = (0, 1, 1) $ 线性表示。
解答：
设存在实数 $ a $ 和 $ b $，使得：
$$
a \cdot \mathbf{u}_1 + b \cdot \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}
$$
即：
$$
a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) = (1, 2, 3)
$$
得到方程组：
$$
\begin{cases}
a = 1 \\
b = 2 \\
a + b = 3
\end{cases}
$$
显然，当 $ a = 1 $，$ b = 2 $ 时，第三个方程也成立。
答案： 可以由 $ \mathbf{u}_1 $ 和 $ \mathbf{u}_2 $ 线性表示，系数为 $ a = 1 $，$ b = 2 $。
四、特征值与特征向量
题目4：
求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值和对应的特征向量。
解答：
特征方程为：
$$
\det(A - \lambda I) = 0
\Rightarrow \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0
$$
$$
(2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
\Rightarrow (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0
$$
所以特征值为 $ \lambda_1 = 1 $，$ \lambda_2 = 3 $。
对于 $ \lambda = 1 $：
解方程 $ (A - I)\mathbf{x} = 0 $：
$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0
\Rightarrow x_1 + x_2 = 0
\Rightarrow \text{特征向量为 } k \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
$$
对于 $ \lambda = 3 $：
解方程 $ (A - 3I)\mathbf{x} = 0 $：
$$
\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0
\Rightarrow -x_1 + x_2 = 0
\Rightarrow \text{特征向量为 } k \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
答案：
特征值为 $ 1 $ 和 $ 3 $；
对应特征向量分别为 $ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $ 和 $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $。
以上是一些常见的线性代数练习题及其详细解答，适合用于课后复习或自我检测。通过不断练习，可以更深入地理解线性代数的基本概念与应用方法。
