【高数(大一上)期末试题及答案】随着学期的结束，大一的学生们迎来了高等数学（上册）的期末考试。这门课程是大学阶段数学学习的重要基础，涵盖了函数、极限、连续性、导数与微分、积分等内容。为了帮助同学们更好地复习和应对考试，以下是一份高数（大一上）期末试题及答案，内容贴近实际考试题型，具有较强的参考价值。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} $ 的定义域为（ ）
A. $ (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $
B. $ (-2, 2) $
C. $ (-\infty, +\infty) $
D. $ (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $
2. 当 $ x \to 0 $ 时，下列哪一个无穷小量与 $ x $ 是同阶无穷小？
A. $ \sin x $
B. $ x^2 $
C. $ e^x - 1 $
D. $ \ln(1+x) $
3. 若 $ f(x) = x^3 + 2x $，则 $ f'(x) = $（ ）
A. $ 3x^2 + 2 $
B. $ 3x + 2 $
C. $ x^2 + 2 $
D. $ 3x^2 + 2x $
4. 设 $ y = \ln(\tan x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = $（ ）
A. $ \frac{1}{\tan x} $
B. $ \frac{\sec^2 x}{\tan x} $
C. $ \cot x $
D. $ \csc x $
5. 下列哪个函数在区间 $ [0,1] $ 上满足罗尔定理的条件？
A. $ f(x) = x $
B. $ f(x) = |x| $
C. $ f(x) = x^2 $
D. $ f(x) = \sqrt{x} $
二、填空题（每空3分，共15分）
1. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \_\_\_\_\_ $。
2. 若 $ f(x) = x^2 \cdot \cos x $，则 $ f''(x) = \_\_\_\_\_ $。
3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 ______。
4. 不定积分 $ \int x \cdot e^x dx = \_\_\_\_\_ $。
5. 定积分 $ \int_0^1 (2x + 1) dx = \_\_\_\_\_ $。
三、计算题（共70分）
1. 求极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}
$$
2. 求导数：
设 $ y = \frac{\ln x}{e^x} $，求 $ y' $。
3. 求不定积分：
$$
\int \frac{x}{x^2 + 1} dx
$$
4. 计算定积分：
$$
\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x \, dx
$$
5. 设函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，求其极值点，并判断极值类型。
四、证明题（10分）
设函数 $ f(x) $ 在闭区间 $ [a, b] $ 上连续，在开区间 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f(a) = f(b) $，证明：存在 $ c \in (a, b) $，使得 $ f'(c) = 0 $。
参考答案
一、选择题
1. A
2. A
3. A
4. B
5. C
二、填空题
1. 3
2. $ 2\cos x - x^2 \cos x - 2x \sin x $（或简化形式）
3. 0
4. $ x e^x - e^x + C $
5. 2
三、计算题
1. 解：分子有理化
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) - 1}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}
$$
2. 解：
$$
y' = \frac{1 \cdot e^x - \ln x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{1 - \ln x}{e^x}
$$
3. 解：令 $ u = x^2 + 1 $，则 $ du = 2x dx $，
$$
\int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |x^2 + 1| + C
$$
4. 解：利用换元法或三角恒等式
$$
\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin 2x dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
$$
5. 解：令 $ f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 $，得 $ x = \pm 1 $。
- 当 $ x = 1 $，$ f''(1) = 6 > 0 $，为极小值；
- 当 $ x = -1 $，$ f''(-1) = -6 < 0 $，为极大值。
四、证明题
根据罗尔定理，若函数 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f(a) = f(b) $，则存在 $ c \in (a, b) $，使得 $ f'(c) = 0 $。此题即为罗尔定理的直接应用。
通过这份试题与答案，希望同学们能够查漏补缺，巩固所学知识，顺利通过高数（大一上）的期末考试。
