【线性代数习题】在学习线性代数的过程中，习题练习是巩固知识、提升解题能力的重要环节。通过不断的练习，不仅可以加深对概念的理解，还能提高逻辑思维和运算技巧。本文将围绕一些典型的线性代数题目进行讲解，帮助读者更好地掌握相关知识点。
一、矩阵运算
题目1：
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，$ B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $，求 $ AB $ 和 $ BA $。
解答：
计算 $ AB $：
$$
AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}
$$
计算 $ BA $：
$$
BA = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 & 5 \cdot 2 + 6 \cdot 4 \\ 7 \cdot 1 + 8 \cdot 3 & 7 \cdot 2 + 8 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{bmatrix}
$$
可以看出，矩阵乘法不满足交换律，即 $ AB \neq BA $。
二、行列式与逆矩阵
题目2：
已知矩阵 $ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $，求其行列式和逆矩阵。
解答：
行列式为：
$$
\det(C) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 6 - 1 = 5
$$
由于行列式不为零，矩阵可逆。逆矩阵公式为：
$$
C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}
$$
三、向量空间与线性相关
题目3：
判断向量组 $ \mathbf{v}_1 = (1, 2, 3) $，$ \mathbf{v}_2 = (4, 5, 6) $，$ \mathbf{v}_3 = (7, 8, 9) $ 是否线性相关。
解答：
构造矩阵：
$$
M = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}
$$
计算其行列式：
$$
\det(M) = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 4(2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) + 7(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)
$$
$$
= 1(45 - 48) - 4(18 - 24) + 7(12 - 15) = (-3) - 4(-6) + 7(-3) = -3 + 24 - 21 = 0
$$
因为行列式为零，说明该向量组线性相关。
四、特征值与特征向量
题目4：
求矩阵 $ D = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值与特征向量。
解答：
特征方程为：
$$
\det(D - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0
$$
展开得：
$$
(2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (2 - \lambda - 1)(2 - \lambda + 1) = 0 \Rightarrow (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0
$$
因此，特征值为 $ \lambda_1 = 1 $，$ \lambda_2 = 3 $。
对应特征向量：
- 对于 $ \lambda = 1 $，解方程 $ (D - I)\mathbf{x} = 0 $：
$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow \mathbf{x} = k \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
$$
- 对于 $ \lambda = 3 $，解方程 $ (D - 3I)\mathbf{x} = 0 $：
$$
\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow \mathbf{x} = k \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
结语
通过上述几类典型习题的练习，可以系统地掌握线性代数的核心内容。建议在学习过程中多做题、勤总结，逐步建立起扎实的数学基础。希望本文能对你的学习有所帮助！
